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逆演算子の計算順序変更

逆演算子の計算順序を変更すると,計算結果が異なる場合がある.

■計算結果が一致する場合

逆演算子の公式

1 Dα F( x )= e αx e αx F( x )dx  詳細

部分積分

f ( x ) g ( x )dx =f ( x )g ( x ) f ( x ) g ( x )dx

などを使って次の2種類の計算を行う.

  • 1 ( D+3 )( D2 ) x

    = 1 D+3 e 2x x e 2x dx

    = 1 D+3 e 2x x ( 1 2 e 2x ) dx

    = 1 D+3 e 2x { 1 2 x e 2x 1 2 e 2x dx }

    = 1 D+3 e 2x ( 1 2 x e 2x 1 4 e 2x )

    = 1 D+3 ( 1 2 x 1 4 )

    = 1 2 1 D+3 ( x+ 1 2 )

    = 1 2 e 3x e 3x ( x+ 1 2 )dx

    = 1 2 e 3x ( 1 3 e 3x ) ( x+ 1 2 )dx

    = 1 2 e 3x { 1 3 e 3x ( x+ 1 2 ) 1 3 e 3x dx }

    = 1 2 e 3x { 1 3 e 3x ( x+ 1 2 ) 1 9 e 3x }

    = 1 6 { ( x+ 1 2 ) 1 3 }

    = 1 6 ( x+ 1 6 )

  • 1 ( D 2 ) ( D + 3 ) x

    = 1 D2 e 3x x ( 1 3 e 3x ) dx

    = 1 D2 e 3x x e 3x dx

    = 1 D2 e 3x ( 1 3 x e 3x 1 3 e 3x dx )

    = 1 D2 e 3x ( 1 3 x e 3x 1 9 e 3x )

    = 1 D2 ( 1 3 x 1 9 )

    = 1 3 1 D2 ( x 1 3 )

    = 1 3 e 2x e 2x ( x 1 3 )dx

    = 1 3 e 2x ( 1 2 e 2x ) ( x 1 3 )dx

    = 1 3 e 2x { 1 2 e 2x ( x 1 3 ) 1 2 e 2x dx }

    = 1 3 e 2x { 1 2 e 2x ( x 1 3 ) 1 4 e 2x }

    = 1 6 { ( x 1 3 )+ 1 2 }

    = 1 6 ( x+ 1 6 )

この場合は順序を逆にしても答えが一致する.次の場合も答えは一致する.

  • 1 ( D+3 )( D2 ) e x

    = 1 D+3 e 2x e 2x e x dx

    = 1 D+3 e 2x e x dx

    = 1 D+3 e 2x ( e x )

    = 1 D+3 e x

    = e 3x e 3x e x dx

    = e 3x e 4x dx

    = e 3x ( 1 4 e 4x )

    = 1 4 e x

  • 1 ( D2 )( D+3 ) e x

    = 1 D2 e 3x e 3x e x dx

    = 1 D+3 e 2x e x dx

    = 1 D2 e 3x ( 1 4 e 4x )

    = 1 4 1 D2 e x

    = 1 4 e 2x e 2x e x dx

    = 1 4 e 2x e x dx

    = 1 4 e 2x ( e x )

    = 1 4 e x

■計算結果が一致しない場合

次の場合は順序を逆にすると,答えが一致しない.

  • 1 ( D+3 )( D2 ) e 2x

    = 1 D+3 e 2x e 2x e 2x dx

    = 1 D+3 e 2x dx

    = 1 D+3 x e 2x

    = e 3x e 3x x e 2x dx

    = e 3x x e 5x dx

    = e 3x x ( 1 5 e 5x ) dx

    = e 3x ( 1 5 x e 5x 1 5 e 5x dx )

    = e 3x ( 1 5 x e 5x 1 25 e 5x )

    = 1 5 e 2x ( x 1 5 )

    = 1 5 x e 2x 1 25 e 2x

  • 1 ( D2 )( D+3 ) e 2x

    = 1 D2 e 3x e 3x e 2x dx

    = 1 D2 e 3x e 5x dx

    = 1 D2 e 3x 1 5 e 5x

    = 1 5 1 D2 e 2x

    = 1 5 e 2x e 2x e 2x dx

    = 1 5 e 2x dx

    = 1 5 x e 2x

1 25 e 2x  は ( D+3 )( D2 )y=0 の一般解に含まれる.

よって特殊解としては 1 25 e 2x を省略することができる.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日2024年2月19日

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