1階線形微分方程式

1階線形微分方程式

微分方程式

dy dx +P( x )y=Q( x ) ・・・・・・(1)

1階線形微分方程式といい,解は

y= e Pdx ( Q e Pdx dx +C )  

となる.

■1階線形微分方程式の解の導出

(1)の両辺に e Pdx をかける.

e Pdx ( dy dx +Py )= e Pdx Q  

dy dx e Pdx +yP e Pdx =Q e Pdx  ・・・・・・(1)

d dx ( y e Pdx )=Q e Pdx  ・・・・・・(2)

(1)から(2)の式変形の説明

d dx ( y e Pdx ) = dy dx e Pdx +y d dx e Pdx    積の微分

第2項を合成関数の微分をする

= dy dx e Pdx +y( e Pdx d dx Pdx )

第2項の d dx Pdx 不定積分の定義より P となる

= dy dx e Pdx +y( e Pdx P )

= dy dx e Pdx +yP e Pdx

(2)の両辺を積分すると

y e Pdx = Q e Pdx dx +C  

となる.両辺を e Pdx で割って

y = Q e Pdx dx +C e Pdx

= e Pdx ( Q e Pdx dx +C )   ( 1 a = a 1  ここを参照)

 

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 最終更新日: 2023年6月10日