合成関数の導関数
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合成関数の導関数

y=f( u ) u=g( x )  のとき,後の式を前の式に代入すると, y=f( g( x ) )  となる.これを, y=f( u ) u=g( x )  の合成関数という.合成関数の導関数は,

d y d x = d y d u · d u d x

あるいは,

{ f( g( x ) ) } = f ( g( x ) )· g ( x )           (   g( x )=u   を代入すると { f ( u ) } = f ( u ) · g ( x )     )

となる.

合成関数を微分する手順

■導出

合成関数導関数の定義にしたがって微分する.

dy dx = lim h0 f( g( x+h ) )f( g( x ) ) h
= lim h0 { f( g( x+h ) )f( g( x ) ) g( x+h )g( x ) · g( x+h )g( x ) h }
ここで, g( x+h )g( x )=j  とおくと, g( x+h )=g( x )+j=u+j  となる.よって,
= lim h0 { f( u+j )f( u ) j · g( x+h )g( x ) h }
h0 ならば, j0  となる.よって,
= lim j0 { f( u+j )f( u ) j }· lim h0 { g( x+h )g( x ) h }
= f ( u )· g ( x )   導関数を参照
= dy du · du dx

合成関数の導関数を以下のように表す場合もある.

dy dx = { f( g( x ) ) } dy du = { f( u ) } = f ( u )= f ( g( x ) ) du dx = { g( x ) } = g ( x ) であるので,  

{ f( g( x ) ) } = f ( g( x ) )· g ( x )  

となる.

●グラフを用いた合成関数の導関数の説明


lim Δx0 Δu Δx = du dx

lim Δu0 Δy Δu = dy du

である.

dy dx = lim Δx0 Δy Δx
= lim Δ x 0 ( Δ y Δ u Δ u Δ x )
=( lim Δx0 Δy Δu )( lim Δx0 Δu Δx )

Δx0 のとき Δu0 である.よって

     =( lim Δu0 Δy Δu )( lim Δx0 Δu Δx )
     = dy du · du dx


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初版:2004年6月25日,最終更新日: 2012年1月17日

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