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グラフの凹凸 (convex upward/downward)

関数 のある区間で2次導関数 をもつとする.この区間で であれば, の増加に伴い, は増加していく,つまり接線の傾きが増加していくので,この区間におけるグラフは 下に凸 (downward convex) の形になる.この区間で であれば, の増加に伴い,接線の傾きは減少していくので,この区間におけるグラフは 上に凸 (upward convex) の形になる.

i)
となる区間において,曲線 は下に凸である.
ii)
となる区間において,曲線 は上に凸である.

したがって,グラフの凹凸を知るためには, の符号を調べればよいということが分かる.また,グラフの凹凸が変わる点では, となっている(変曲点).

下に凸のことを上に凹 (concave upward),上に凸のことを下に凹 (concave downward)ともいい,一般にある区間で下に凸のグラフとなる関数を凸関数 (convex function),上に凸(下に凹)のグラフとなる関数を凹関数 (concave function)と呼ぶ.


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2018年9月8日

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金沢工業大学

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