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応用分野: 指数関数の微分

対数微分法

 微分する関数 が整式の累乗の和および積の形の場合,対数を取って微分すると累乗が倍数,積が和,商が差になり計算が簡単になる.このような微分方法を対数微分法という.

対数微分法の手順を を使って詳しく説明する.

の両辺の絶対値の自然対数をとる.(ただし,真数が正でなければならないので, とする.)

次に,両辺を で微分する.

合成関数の導関数の考え方により式を変形する.

                                  の計算はここを参照

となり,両辺の対数をとっても,導関数 が求まることがわかる. 

■具体的事例

 の導関数を求める.

分母が0でないことより,  ・・・(1),根号(ルート) の中はゼロ以上より,  ・・・(2)

よって(1),(2)より,

この の範囲で,かつ真数が正より, として, 両辺の絶対値の自然対数をとると,

 

この方程式の両辺を で微分( 対数の微分)して計算すると,

分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である.


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初版2004年6月22日,最終更新日: 2011年12月6日

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