定数倍した関数の導関数

$3$\displaystyle{{ \{ cg $x$ \} }^{\prime }=c{g}^{\prime } $x$ }$ 　，すなわち， $3$f $x$ =cg $x$ \rightarrow {f}^{\prime } $x$ =c{g}^{\prime } $x$$

■導出

関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は，関数 $3$\displaystyle{ g $x$ }$ を $3$c$ 倍した関数 $3$\displaystyle{ cg $x$ }$ である．その導関数は，定義式より，

$3$\displaystyle{{ \{ cg $x$ \} }^{\prime }={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} cg $ x+{\Delta}x $ +cg $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

式を整理しなおすと，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} {f}^{\prime } $x$ & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} c \{ g $ x+{\Delta}x $ +g $x$ \} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & =c{ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+{\Delta}x $ +g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & =c{g}^{\prime } $x$ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

となる．すなわち，

$3$\displaystyle{{ \{ cg $x$ \} }^{\prime }=c{g}^{\prime } $x$ }$

である．

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最終更新日： 2016年3月1日

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