楕円の接線の方程式
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楕円の接線の方程式 

楕円  x 2 a 2 + y 2 b 2 =1  の周上の点P ( x 0 , y 0 ) における接線の方程式は,

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1

である.

■導出計算

楕円の方程式

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

の両辺を x で微分すると,

2x a 2 + 2y b 2 dy dx =0

となり, dy dx について整理すると,

dy dx = b 2 x a 2 y  

よって,P点での傾きは, b 2 x a 2 y となる. 以上より,点Pにおける接線の方程式は,

y y 0 = b 2 x 0 a 2 y 0 ( x x 0 )

となるる.この接線の方程式を更に以下のように変形する.

 まず,両辺に y 0 b 2 を掛けて,

y 0 b 2 ( y y 0 )= x 0 a 2 ( x x 0 )

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 =1  より,

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1

となり,上で示した接線の方程式が得られた.


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最終更新日: 2013年7月25日

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