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# 楕円の接線の方程式

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0}y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$

である．

## ■導出計算

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$

の両辺を$3x$ で微分すると，

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 2y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

となり，$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ について整理すると，

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} {b}^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}y \hspace{2}}}$

よって，P点での傾きは，$3\displaystyle{- \frac{\hspace{2} {b}^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}y \hspace{2}}}$ となる． 以上より，点Pにおける接線の方程式は，

$3\displaystyle{y- \hspace{1}{y}_{0}=- \frac{\hspace{2} {b}^{2}\hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}\hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}} \( x- \hspace{1}{x}_{0} \) }$

となるる．この接線の方程式を更に以下のように変形する．

まず，両辺に$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}}$ を掛けて，

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}} \( y- \hspace{1}{y}_{0} \) =- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}} \( x- \hspace{1}{x}_{0} \) }$

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0}y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{x}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{y}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}}$

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{x}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{y}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$  より，

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0}y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$

となり，上で示した接線の方程式が得られた．

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