対数微分法
KIT数学ナビゲーション
 

対数微分法

 微分する関数 f( x ) が整式の累乗の和および積の形の場合,対数を取って微分すると累乗が倍数,積が和,商が差になり計算が簡単になる.このような微分方法を対数微分法という.

対数微分法の手順を y=f( x ) を使って詳しく説明する.

y=f( x ) の両辺の絶対値の自然対数をとる.(ただし,真数が正でなければならないので, y=f( x )0 とする.)

log| y |=log| f( x ) |

次に,両辺を x で微分する.

log| y |=log| f( x ) |

合成関数の導関数の考え方により式を変形する.

( d d y log | y | ) d y d x = ( d d f ( x ) log | f ( x ) | ) d d x f ( x )

1 y d y d x = 1 f ( x ) f ( x )                                   d dx log | y | の計算はここを参照

d y d x = y f ( x ) f ( x )

d y d x = f ( x )

となり,両辺の対数をとっても,導関数 f ( x ) が求まることがわかる. 

■具体的事例

y= ( x+3 ) 2 2x+1  の導関数を求める.

分母が0でないことより, 2x+1 0  ・・・(1),根号(ルート) の中はゼロ以上より, 2x+10  ・・・(2)

よって(1),(2)より, 2x+1>0x> 1 2

この x の範囲で,かつ真数が正より, 3x+10  として, 両辺の絶対値の自然対数をとると,

log y = log ( x + 3 ) 2 2 x + 1 log y = 2 log x + 3 1 2 log 2 x + 1  

この方程式の両辺を x で微分( 対数の微分)して計算すると,

1 y d y d x = 2 x + 3 1 2 · 2 2 x + 1 1 y d y d x = 2 ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) 1 y d y d x = 3 x 1 ( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) d y d x = ( x + 3 ) 2 2 x + 1 · 3 x 1 ( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) = ( x + 3 ) ( 3 x 1 ) ( 2 x + 1 ) 3

分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である.


ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>対数微分法

 

初版2004年6月22日,最終更新日: 2011年12月6日

[ページトップ] 金沢工業大学