増減表
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増減表

増減表とは,関数 y=f( x )  のグラフの概略を描くために, f ( x )  の符号を求めて関数 f( x )  の増加および減少の様子を表にまとめたものである.

x   a   b   c  
f ( x ) + 0 - 0 + 0 -
f( x ) f( a )
極大値
f( b )
極小値
f( c )
極大値

上記の増減表からグラフの概略を描くと,下の図のようになる.

■増減表の書き方

関数 f( x )= x 3 +3 x 2 9x+5  を例に増減表の一般的な書き方を説明する.

  1. f ( x )=0  を満たす x  の値を求める.( f ( x )=0  を満たす x  の値で関数 f( x )  は極大あるいは極小になる.)

    f ( x ) =3 x 2 +6x9 =3( x 2 +2x3 ) =3( x+3 )( x1 )

    よって, f ( x )=0  を満たす x  の値は, x=1,3  である. 求めた範囲で増減表を作成すると下のようになる.
    x 3 1
    f ( x )   0   0  
    f( x )                          


  2. 次に, f ( x )  の符号と書き加え, f( x ) の増減を矢印で示す.( f( x )>0  では関数 f( x )  は増加し, f( x )<0  では関数 f( x )  は減少する.)

    x   3   1  
    f ( x ) + 0 - 0 +
    f( x )        


  3. 最後に極値の値を求める.

    f( 3 )= ( 3 ) 3 +3· ( 3 ) 2 9·( 3 )+5=32 f( 1 )= ( 1 ) 3 +3· ( 1 ) 2 9·( 1 )+5=0

    x   3   1  
    f ( x ) + 0 - 0 +
    f( x ) 32 0

下に 関数 f( x )= x 3 +3 x 2 9x+5   のグラフを示す.上の増減表と比較してみよう.

グラフ

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初版:2006年1月26日,最終更新日: 2010年11月12日

 

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