複素数の積分

複素数の積分

複素平面上の2点 P Q を結ぶ経路 C があり,経路 C が経路 C 上の n1 個の点で n 個に分割されているとする.点 P 側から n1 個の点を P 1 P 2 P n1 とし,点 P P 0 ,点 Q P n とも呼ぶことにする.経路 C 上の一部 P i1 P i ( i=1,2,,n ) の間の経路上に点 C i がある.

P i 複素数の値を z i ,点 C i 複素数の値を c i とする.

複素関数 f( z ) において

lim n k=1 n f( c i )Δ z i

(ただし, Δ z i = z i z i1 )

の値を

C f( z )dz

と表し,経路 C に沿う積分と定義する. C 積分経路という.

曲線 C が滑らかな曲線で

z=x+iy=x( t )+iy( t )=z( t )

f( z )=u( x,y )+iv( x,y )

と表すことにすると

C f( z )dz = C { ( u+iv )( dx+idy ) }

= C ( udx+iudy+ivdxvdy )

= C { udxvdy+i( udy+vdx ) }

= C ( udxvdy ) +i C ( udy+vdx )

= α β ( u d x d t v d y d t ) d t + i α β ( u d y d t + v d x d t ) d t

(ただし z 0 =z( α ), z n =z( β )

となる.


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最終更新日: 2023年2月25日