複素数の積
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複素数の積

2つの複素数 z 1 z 2 の積を考える.

z 1 = x 1 + y 1 z 2 = x 2 + y 2  

とおくと,

z 1 · z 2 =( x 1 + y 1 )( x 2 + y 2 ) = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 2 =( x 1 x 2 y 1 y 2 )+( x 1 y 2 + x 2 y 1 )  

となる.しかし,計算はできたがこの積の値がどのような意味をもつのか直感的に理解できないそこで,複素数を極形式で表現して複素数の積の意味を考えてみる.

z 1 = r 1 ( cos θ 1 +sin θ 1 ) z 1 = r 2 ( cos θ2 +sin θ2 )  

とおくと,

z 1 · z 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 +sin θ 1 )( cos θ 2 +sin θ 2 ) = r 1 r 2 cos θ 1 cos θ 2 +cos θ 1 sin θ 2 +sin θ 1 cos θ 2 + 2 sin θ 1 sin θ 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 )+( cos θ 1 sin θ 2 +cos θ 2 sin θ 1 )
             三角関数の加法定理を用いると
           = r 1 r 2 { cos( θ 1 + θ 2 )+sin( θ 1 + θ 2 ) }

この結果をよく見ると, z 1 · z 2 は絶対値が r 1 · r 2 偏角が θ 1 + θ 2 となっている.すなわち,

複素数の積絶対値はに, 偏角は

| z 1 z 2 |=| z 1 || z 2 |,arg( z 1 + z 2 )=arg z 1 +arg z 2

になる. これを図で示すと右の図のようになる.この特徴を図形問題に応用する場合が多い.

1.図形の回転

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に,絶対値が1で偏角が θ の複素数 z=cosθ+sinθ を掛けると,図形を θ 回転させることができる.

2.図形の拡大/縮小

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に,絶対値が r 偏角がの複素数 z=rを掛けると,図形を r 倍にすることができる.

3.図形の回転+拡大/縮小

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に,絶対値が r 偏角が θ の複素数 z=r( cosθ+ sinθ ) を掛けると,図形を θ 回転させ,かつ r 倍にすることができる.

 

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初版:2004年7月1日,最終更新日: 2007年7月12日

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