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応用分野: 原始立方解z^n=αの解

ド・モアブルの定理

のとき

ただしは任意の整数(負の整数,0,正の整数)

■証明

 まず,

 ・・・・・・(1)

 ・・・・・・(2)

とおく.

n=1のとき,(2)は

となり,(1)そのものであるので,n=1のとき(2)は成り立つ.

 次に, n(m:自然数) のとき(2)が成り立つとする.

 すると,


      
           (三角関数の加法定理より)
      

となり,n=mで(2)が成り立つと,n=m+1も(2)がなりたつ.

  よって,帰納法より自然数,言いかえると正の整数について(2)が成り立つ.

  n=0のときは(2)は左辺=右辺=0となり成り立つ.

 さらに, n が負の整数場合はm を自然数とすると, となり,

    

となり,が負の整数でもなりたつ.

 以上より(2)は全ての整数で成り立つ.

 

 

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初版: 2004年7月1日 , 最終更新日: 2006年3月30日

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