ケーリー・ハミルトンの定理
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ケーリー・ハミルトンの定理

行列 A=( a b c d ) には次に示すケーリー・ハミルトンの定理が成り立つ.

A 2 ( a+d )A+( adbc )E=O

この等式は,行列の次数を下げるのに用いられる.

A 2 =( a+d )A( adbc )E

のように式を変形すると,次数をひとつ下げることができる.

■証明

A 2 ( a+d )A+( adbc )E = ( a b c d )( a b c d )( a+d )( a b c d )+( adbc )( 1 0 0 1 ) = ( a 2 +bc ab+bd ac+cd bc+ d 2 )( a 2 +ad ab+bd ac+cd ad+ d 2 )+( adbc 0 0 adbc ) = ( bcad 0 0 bcad )+( adbc 0 0 adbc ) = ( 0 0 0 0 ) = O

となり,証明された. 

 

 

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初版:2004年7月8日,最終更新日: 2008年12月15日

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