ケーリー・ハミルトンの定理の具体例

問1:行列 A=( a b c d ) A 2 4A+3E=O を満たすとき, a+d , adbc の値を求めよ.

解: a+d=p , adbc=q とおく.

行列 A について,ハミルトン・ケーリーの定理より, A 2 pA+qE=O が成り立つ.

よって, A 2 =pAqE .....@

A 2 =pAqE A 2 4A+3E= O.....A に代入すると, (p4)A(q3)E=O .....B

[1] p=4 のとき,Bから p=3  

[2] p4 のとき,Bから, A= q3 p4 E

q3 p4 E=k とおくと, A=kE  

Aに代入して, ( k 2 4k+3)E=O

よって, k 2 4k+3=0

これを解いて, k=1,3

ゆえに, A=( 1 0 0 1 ),( 3 0 0 3 )

このとき, p=2,q=1;p=6,q=9

(a+d,adbc)=(2,1),(4,3),(6,9)

 

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初版:2004年7月8日,最終更新日: 2008年10月8日

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