次数下げの計算の証明

次数下げの計算の証明

1行目において, ( 1,1 ) 成分以外の成分が全て0の場合( a 11 0 a 12 = a 13 == a 1n =0 ), 行列式の定義より,

| a 11 0 0 a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn | = n sgn( 1 2 n i 1 i 2 i n ) a 1 i 1 a 2 i 2 a n i n

と表される.,行列式の項の中で, a 12 a 13 ,・・・, a 1n を含む項は全て 0 となる. よって,

与式 = n sgn ( 1 2 n 1 i 2 i n ) a 11 a 2 i 2 a n i n

となる. i 2 , i 3 , , i n 2 から n の間の整数で重複しない.置換の下段左端が 1 になっていることに注意する.

a 11 が全ての項の共通因数になるのでくくりだすことができる.よって,

= a 11 n sgn ( 1 2 n 1 i 2 i n ) a 2 i 2 a n i n

となる.置換の左端の対が 1 1 で変化しないので,

sgn( 1 2 n 1 i 2 i n )=sgn( 2 n i 2 i n )

が成り立つ.よって,

= a 11 n sgn ( 2 n i 2 i n ) a 2 i 2 a n i n

となる.行列式の定義より,

= a 11 | a 22 a 2n a 32 a 3n a n2 a nn |

となる.

以上より,

| a 11 0 0 a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn | = a 11 | a 22 a 2n a 32 a 3n a n2 a nn | ……(1)

が成り立つ.

また,1列目において, ( 1 , 1 ) 成分以外の成分が全て0の場合( a 11 0 a 21 = a 31 = = a n 1 = 0 ), | A | = | t A | より,

| a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 a n2 a nn | =| a 11 0 0 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn |

となる.上記(1)より

= a 11 | a 22 a n2 a 2n a nn |

となる. | A |=| t A | より

= a 11 | a 22 a 2n a n2 a nn |

となる.したがって,

| a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 a n2 a nn | = a 11 | a 22 a 2n a n2 a nn | ……(2)

が成り立つ.

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最終更新日: 2023年7月10日