次数下げの計算例1
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次数下げの計算例1

 ここでは,行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す.


■問題

次の行列式を求めよ.ただし,答は因数分解された形で示せ.

| 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 |



■解法

 ・第一列の要素を0にして解く方法

| 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 |
     

=| 1 a a 2 11 ba b 2 a 2 11 ca c 2 a 2 |

     第1列の第2要素,第3要素を0にするため,
     第2行−第1行,第3行−第1行の計算を行う.

=| 1 a a 2 0 ba b 2 a 2 0 ca c 2 a 2 |

     次数下げの計算を用い,
     3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=1×| ba b 2 a 2 ca c 2 a 2 |

     

=| ba ( ba )( b+a ) ca ( ca )( c+a ) |

     第3列の要素を因数分解する.

=( ba )( ca )| 1 b+a 1 c+a |

     定数倍の性質より,第2行の ( ba ) と,
      第3行の ( ca ) を行列式の外に出す.

=( ba )( ca ){ 1×( c+a )1×( b+a ) }

      行列式の値を求める.

=( ba )( ca )( c+aba )

     

=( ba )( ca )( cb )

     

=( ab )( ac )( bc )

      ()の中を,アルファベット順に並べる.



 ・第一行の要素を0にして解く方法

| 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 |
     

=| 1 aa a 2 a 2 1 ba b 2 a 2 1 ca c 2 a 2 |

     第1行の第2要素,第3要素を0にするため,
     第2列−第1列 ×a ,第3列−第1列 × a 2 の計算を行う.

=| 1 0 0 1 ba b 2 a 2 1 ca c 2 a 2 |

     次数下げの計算を用い,
     3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=1×| ba b 2 a 2 ca c 2 a 2 |

     

=| ba ( ba )( b+a ) ca ( ca )( c+a ) |

      第3列の要素を因数分解する.

=( ba )( ca )| 1 b+a 1 c+a |

     定数倍の性質より,第2行の ( ba ) と,
      第3行の ( ca ) を行列式の外に出す.

=( ba )( ca ){ 1×( c+a )1×( b+a ) }

      行列式の値を求める.

=( ba )( ca )( c+aba )

     

=( ba )( ca )( cb )

     

=( ab )( ac )( bc )

      ()の中を,アルファベット順に並べる.



また,この問題は行列式の展開を用いても解くことができる.
行列式の展開を用いても同じ答が得られることを確認しなさい.

 

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初版:2008年2月26日,最終更新日: 2008年3月4日

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