次数下げの計算例2
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次数下げの計算例2

 ここでは,行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す.


■問題

次の行列式を求めよ.ただし,答は因数分解された形で示せ.

| a b c c a b b c a |



■解法

 ・行列式の特徴を用いて解く方法

| a b c c a b b c a |      計算を容易にするため,
     第1列+第2列+第3列を行う.

=| a+b+c b c a+b+c a b a+b+c c a |

     第1列の第2要素,第3要素を0にするため,
     第2行−第1行,第3行−第1行の計算を行う.

=| a+b+c b c 0 ab bc 0 cb ac |

     次数下げの計算を用い,
     3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=( a+b+c )| ab bc cb ac |

     

=( a+b+c ){ ( ab )( ac )( bc )( cb ) }

     行列式の値を求める.

=( a+b+c )( a 2 acab+bcbc+ b 2 + c 2 bc )

     

=( a+b+c )( a 2 + b 2 + c 2 abbcca )

     



 ・第1列の要素を0にして解く方法

| a b c c a b b c a |
     

=| a b c ca× c a ab× c a bc× c a ba× b a cb× b a ac× b a |

     第1列の第2要素,第3要素を0にするため,
     第2行−第1行 × c a ,第3行−第1行 × b a の計算を行う.

=| a b c 0 a bc a b c 2 a 0 c b 2 a a bc a |

     次数下げの計算を用い,
     3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=a| a bc a b c 2 a c b 2 a a bc a |

     

=a{ ( a bc a ) 2 ( b c 2 a )( c b 2 a ) }

      行列式の値を求める.

=a{ ( a 2 2bc+ b 2 c 2 a 2 )( bc b 3 a c 3 a + b 2 c 2 a 2 ) }

     

=a( a 2 2bc+ b 2 c 2 a 2 bc+ b 3 a + c 3 a b 2 c 2 a 2 )

     

=a( a 2 + b 3 a + c 3 a 3bc )

     

= a 3 + b 3 + c 3 3abc

      因数分解を行う.

=( a+b+c )( a 2 + b 2 + c 2 abbcca )

      ()の中を,アルファベット順に並べる.



また,この問題は行列式の展開を用いても解くことができる.
行列式の展開を用いても同じ答が得られることを確認しなさい.

 

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初版:2008年2月26日,最終更新日: 2008年3月10日

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