確率の積の法則（乗法定理）

　試行 T 1 では事象 A 1 起こり続いて行う試行 T 2 では事象 A 2 が起こる確率 P( A 1 ∩ A 2 ) は， 試行 T 1 では事象 A 1 起こる確率を P( A 1 ) ， 試行 T 1 で事象 A 1 起こったという条件つきで，続いて行う試行 T 2 で事象 A 2 が起こる条件付確率を P A 1 ( A 2 ) とすると，

P( A 1 ∩ A 2 )=P( A 1 ) · P A 1 ( A 2 )

となる．これを確率の積の法則または乗法定理という．

■確率の積の法則の導出

　試行 T 1 で起こるすべての場合の数を n( U 1 ) ，試行Tで事象 A 1 が起こる場合の数を n( A 1 ) ， 試行 T 2 で起こるすべての場合の数を n( U 2 ) ，試行Tで事象 A 2 が起こる場合の数を n( A 2 ) ， とすると， 試行1，試行2を連続して行った場合のすべての場合の数は積の法則より n( U 1 )×n( U 2 ) ， 事象 A 1 に続いて事象 A 2 が起こる場合の数は積の法則より n( A 1 )×n( A 2 ) ， となる．確率の定義より

P( A 1 ∩ A 2 )	= n( A 1 )×n( A 2 ) n( U 1 )×n( U 2 )
	= n( A 1 ) n( U 1 ) × n( A 2 ) n( U 2 )
	=P( A 1 )× P A 1 ( A 2 )

となり確率の積の法則が導かれる．

■事例による説明

　数字1のカードが2枚，数字2のカードが3枚の計5枚のカードがある．5枚のカードから1枚のカードを取り，カードを戻さず2枚目のカードを引きます．1枚目に数字1のカードを取り，2枚目に数字2のカードを取る確率を求めよ．

1枚目に数字1のカードを取る確率は 2 5 となる．
2枚目に数字2のカードを取る確率は，残りのカードが4枚で数字2のカードは3枚のままであるので 3 4 となる．
よって，求める確率は

2 5 · 3 4 = 3 10

となる．

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初版：2004年7月1日，最終更新日： 2006年4月5日