共分散（covariance）

共分散 ${\displaystyle {\sigma }_{xy}}$ とは，二つの変量${\displaystyle x，y}$ の相関の程度を表したものであり，二つの変量がそれぞれ${\displaystyle n}$個あるとき

${\displaystyle {\sigma }_{xy}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}$　･･････(1)

と定義されている．なお，計算する際は上(1)を用いると計算が煩雑になることが多いため，(1)を以下のように変形して用いるとよい．

${\displaystyle {\sigma }_{xy}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(x_i{y}_i-\overline{x}{y}_i-\overline{y}{x}_i+\overline{x}\overline{y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\frac{1}{n}\overline{x}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{y}_i}$${\displaystyle -\frac{1}{n}\overline{y}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i}$${\displaystyle +\frac{1}{n}\overline{x}\overline{y}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{n}1}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}-\overline{y}\overline{x}}$${\displaystyle +\frac{1}{n}\overline{x}\overline{y}\cdot n}$

∵　${\displaystyle \frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{n}y={\overline{y}}_i}$，${\displaystyle \frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i=\overline{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}}$

共分散をCovariance(共分散)の頭文字を用いて $C\left(X,Y\right)$ と表現することもある，この共分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いた$E\left(\right)$という表現を用いると，共分散$C\left(X,Y\right)$ は

${\displaystyle {\sigma }_{xy}=C\left(X,Y\right)}$