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応用分野: 解と係数の関係
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2次方程式 ax 2 +bx+c=0( a0 ) の解き方

解の公式による解き方

x= b± b 2 4ac 2a     ( b 2 4ac0  の場合,判別式を参照)

因数分解による解き方

まず下に示すように因数分解する(ここを参照).

a x 2 +bx+c=0   → ( px+q )( rx+s )=0

これより,答えは

x= q p     , s r

■考え方

2次方程式

a x 2 + b x + c = 0 ・・・・・・(1)

2次関数

y = a x 2 + b x + c ・・・・・・(2)

において y  の値が 0 の場合に相当する.これをグラフで示すと,方程式(1)を満たす x の値は, グラフ y = a x 2 + b x + c x  軸上の点に対応する.すなわち,方程式 a x 2 + b x + c = 0 の解 x は, y = a x 2 + b x + c x 軸との交点の x 座標の値と考えることができる.2次方程式(1)の解を α , β とすると,(1)は因数定理 x 2 の係数が a  より,

a ( x - α ) ( x - β ) = 0 ・・・・・・(3)

と書きかえることができる.(3)式を展開すると,

   a( x - α ) ( x - β ) = a x 2 - a ( α + β ) x + a α β ・・・・・・(4)

となる.(1)と(4)の係数を比較すると

α + β = - b a ・・・・・・(5)

α β = c a ・・・・・・(6)

の関係が得られる.これを解と係数の関係という.

(1)を(3)のように書き直すことができれば,2次方程式の解を求めることができる.

(1)を(3)のように書き直すと (式の変形はここを参照)

a ( x - - b - b 2 - 4 a c 2 a ) ( x - - b - b 2 + 4 a c 2 a ) = 0 ・・・・・・(7)

となる.よって,2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 の解は,

x = - b b 2 - 4 a c 2 a ・・・・・・(8)

となる.(8)は2次方程式の解の公式である.

 

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最終更新日: 2022年5月25日

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