関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.
応用分野: 2次関数の平方完成

平方完成の具体例

■具体例1

y = x 2 +2x+3

x 2 の係数1で x 2 の項と x の項をくくる. 

=1( x 2 + 2 1 x )+3

( x+ ) 2 の項を作るために x の項を 2··x の形に変形する.

=1( x 2 +2 2 2·1 x )+3

(x+2··x+ 2 2 ) 2 の形に変形する.

=1{ x 2 +2 2 2·1 x+ ( 2 2·1 ) 2 ( 2 2·1 ) 2 }+3

( x+ ) 2 の項を作るために, 2 の項を外に出す. 

=1{ x 2 +2 2 2·1 x+ ( 2 2·1 ) 2 }1 ( 2 2·1 ) 2 +3

分けた2つの部分を整理する

= ( x+ 2 2·1 ) 2 2 2 4·1 +3

= ( x+1 ) 2 2 2 4·1·3 4·1

= ( x+1 ) 2 +2

■具体例2

1次の項の係数が偶数の場合

y = x 2 6x+7

x の1次の項の係数 2· の形に変形し, 2 の項を加えて,引く

= x 2 2·3x+ 3 2 3 2 +7

( x ) 2 の項をつくるために式を変形する

=( x 2 2·3x+ 3 2 ) 3 2 +7

計算して整理する

= ( x3 ) 2 2

■具体例3

1次の項が奇数の場合

y = x 2 3x+9

x の1次の項の係数 2· 2 の形に変形する

=( x 2 2· 3 2 x )+9

( x ) 2 の項を作るために の中で ( 2 ) 2 の項を加えて引く

={ x 2 2· 3 2 x+ ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 }+9

( x ) 2 の項をつくるために式を変形する

={ x 2 2· 3 2 x+ ( 3 2 ) 2 } ( 3 2 ) 2 +9

計算して整理する.

= ( x 3 2 ) 2 + 27 4

具体例4

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その1

y =2 x 2 +5x+7

x の2次の項の係数で x の2次の項と1次の項をくくる

=2( x 2 + 5 2 x )+7

x の1次の項の係数 2· 2 の形に変形する

=2( x 2 +2 5 2·2 x )+7

( x ) 2 の項を作るために の中で ( 2 ) 2 の項を加えて引く

=2{ x 2 +2 5 2·2 x+ ( 5 2·2 ) 2 ( 5 2·2 ) 2 }+7

( x ) 2 の項ができるように式を変形する

=2{ x 2 +2 5 2·2 x+ ( 5 2·2 ) 2 }2 ( 5 2·2 ) 2 +7

=2 ( x+ 5 2·2 ) 2 5 2 4·2 +7

=2 ( x+ 5 4 ) 2 5 2 4·2·7 4·2

計算して整理した結果

=2 ( x+ 5 4 ) 2 + 31 8

■具体例5

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その2 方法はその1と同様

y =5 x 2 8x+12

=5( x 2 8 5 x )+12

=5( x 2 2 8 2·5 x )+12

=5{ x 2 2 8 2·5 x+ ( 8 2·5 ) 2 ( 8 2·5 ) 2 }+12

=5{ x 2 2 8 2·5 x+ ( 8 2·5 ) 2 }5 ( 8 2·5 ) 2 +12

=5 ( x 8 2·5 ) 2 8 2 4·5 +12

=5 ( x 4 5 ) 2 8 2 4·5·12 4·5

=5 ( x 4 5 ) 2 + 44 5

 

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>2次関数の平方完成>>平方完成の具体例

学生スタッフ作成

最終更新日 2023年5月27日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)