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グラフの拡大

 関数 のグラフを原点を中心として 軸方向に 倍 , 軸方向に 倍 したグラフを表す関数は,

 ・・・・・・(1)

となる.

ポイント:原点を中心として 軸方向に 倍 , 軸方向に 倍 した関数とは元の関数の を に, を  に書き換えたものになる.

■式の導出

 グラフの拡大の考え方を具体的に説明する.

 まず,

 ・・・・・・(2)  

の直線のグラフについて考える. 

●原点を中心として 軸方向に拡大したグラフを表す関数

  のグラフを,原点を中心として 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める. 

 原点を中心として 軸方向に3倍とは,  座標の値を3倍にすることである. 上の点Pがこの拡大変換により移動した先を点Qとし,点P,Qの座標をそれぞれ とする.点Qの 座標の値は点Pの 座標の値 を3倍したものとなり,点Qの 座標の値は点Pの 座標の値 のままである.すなわち,

 ・・・・・・(3)  

の関係がある.これは点Qを点Pの座標の値を用いて表しているが,逆に点Pの座標を,点Qの座標の値 を使って表すと, 

 ・・・・・・(4)   

となる.点Pは 上の点であるので, 

 ・・・・・・(5)     

の関係がある.(5)のに(4)の  の関係を代入すると,

 ・・・・・・(6)  

となる.(6)は の関係を表している.すなわち,この(6)が(2)の のグラフを原点中心として 軸方向に3倍したグラフを表す関数である.  

ポイント:原点を中心に 軸方向に3倍した関数とは元の関数の に書き換えたものになる.

●原点を中心として 軸方向に拡大したグラフを表す関数

   のグラフを,原点を中心として 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める. 

 原点を中心として 軸方向に3倍とは,  座標の値を3倍にすることである. 上の点Pがこの拡大変換により移動した先を点Qとし,点P,Qの座標をそれぞれ とする.点Qの 座標の値は点Pの 座標の値 のままであり,点Qの 座標の値は点Pの 座標の値 を3倍したものである.すなわち,

 ・・・・・・(7)  

の関係がある.これは点Qを点Pの座標の値を用いて表しているが,逆に点Pの座標を,点Qの座標の値 を使って表すと, 

 ・・・・・・(8)   

となる.点Pは 上の点であるので, 

 ・・・・・・(5)     

の関係がある.(5)のに(4)の の関係を代入すると,

 ・・・・・・(9)  

となる.(9)はの関係を表している.すなわち,この(9)が(2)の のグラフを原点を中心として 軸方向に3倍したグラフを表す関数である.  

ポイント:原点を中心に 軸方向に3倍した関数とは元の関数の に書き換えたものになる.

 以上の基本的な考え方を基にして

軸方向 ,軸方向の拡大を組み合わせたグラフの関

  のグラフを原点を中心として 軸方向に倍 ,軸方向に倍 したグラフを表す関数を求める. 

  上の点 Pがこの拡大変換により移動した先を点Qとし,点P,Qの座標をそれぞれ とする.点Qの 座標の値は点Pの 座標の値 倍したものとなり,点Qの 座標の値は点Pの 座標の値 倍したものである.すなわち,

 ・・・・・・(10)  

の関係がある.これは点Qを点Pの座標の値を用いて表しているが,逆に点Pの座標を,点Qの座標の値 を使って表すと, 

 ・・・・・・(11)   

となる.点Pは 上の点であるので, 

 ・・・・・・(12)     

の関係がある.(12)の に(11)の の関係を代入すると,

 ・・・・・・(1)  

となる.(1)は と の関係を表している.すなわち,この(1)が のグラフを原点を中心として 軸方向に 倍 , 軸方向に 倍 したグラフを表す関数である.  

 

 

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初版:2004 年8月26日,最終更新日 2007年7月31日

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