円の方程式
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円の方程式

  1. 中心:原点,半径:r  の円の方程式
  2. 中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式
  3. 原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式
  4. 複素数を用いた円の方程式

■中心:原点,半径:r  の円の方程式

x 2 + y 2 = r 2

r θ を使って円周上の点Pを表すと, 

{ x=rcosθ y=rsinθ

となる.

x 2 + y 2 = ( rcosθ ) 2 + ( rsinθ ) 2 = r 2 ( cos 2 θ+ sin 2 θ ) = r 2

■中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式[topへ]

( xa ) 2 + ( yb ) 2 = r 2

r θ を使って円周上の点Pを表すと, 

{ x=a+rcosθ y=b+rsinθ

となる.

( xa ) 2 + ( yb ) 2 = ( a+rcosθa ) 2 + ( b+rsinθb ) 2 = r 2 ( cos 2 θ+ sin 2 θ ) = r 2

 

■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式[topへ]

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

●式の導出 その1

 円周角の定理より OPQ=90°
よって, OP , QP 内積は, OP · QP =0  となる.
この関係を,ベクトルの成分で表すと,

OP =( x,y ), QP =( xa,yb )

より

x( xa )+y( yb )=0

となる.上記のような円の方程式の形に変形すると,

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

となる.

 これが求める円の方程式である.

中心の座標は, ( a 2 , b 2 ) ,半径は, a 2 + b 2 2 となる.

 内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である.

●式の導出 その2

 三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます.

OQ 2 = OP 2 + QP 2 より

a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + (xa) 2 + ( yb ) 2 a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + x 2 2ax+ a 2 + y 2 2by+ b 2 0=2( x 2 ax+ y 2 by ) x 2 ax+ y 2 by=0 ( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

■複素数を用いた円の方程式[topへ]

 複素平面上において,原点Oを中心とする半径  r の 円の方程式

 複素数を z=x+y   とすると,

| z |=r   ( r= x 2 + y 2

極形式で表すと,

z=r( cosθ+sinθ )

となる.

 

● 複素平面上において,点C( α=a+b  )を中心とする半径  r  の 円の方程式

複素数を z=x+y   とすると,

| zα |=r | ( xy )( a+b ) |=r | ( xa )+( yb ) |=r ( r= ( xa ) 2 + ( yb ) 2 )

となる.

● 複素平面において,点A( α=a+b )と点B( β=c+d )があり,線分ABを直径とする円の方程式

 複素数を z=x+y   とすると,

arg zα zβ =±90°

円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照)

あるいは,

円の中心が α+β 2 ,円の半径が | αβ | 2 となるので,

| z α+β 2 |= | αβ | 2

と表すこともできる.

 

【問題演習】
    金沢工業大学 2002年度 数学(A-2) III

 

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初版:2004年7月1日,最終更新日: 2007年10月13日

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