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応用分野: 2変数関数法線ベクトル

平面の方程式 

点Pを通り,法線ベクトル平面の方程式は,

 

と表わされる.また,平面の方程式は一般に,

   (一般形

と表される.このとき,平面の法線ベクトルは となる.

■平面の方程式の導出

平面は,空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば,一意的に決まる.平面上の点Pの座標を ,法線ベクトルをとし,平面上の任意の点Qの座標をとすると,ベクトル は平面に含まれる. は平面の法線ベクトルなので, のなす角は90°である.よって内積がゼロとなるので,

   

となる.この関係から,

となり,平面の方程式が求まる.

■平面の方程式の求め方のいろいろ】

●空間中の3点で決まる平面の方程式

空間中の3点をA ,B ,C を含む平面の方程式の求め方.

●方法1

3点を含む平面上の点をP とすると, を用いて を表すと,

となる.媒介変数.これを座標で表すと,

となり,整理すると,

となる.各座標を比べると,

となる.この関係式から, を消去すると平面の方程式が得られる.

●方法2

平面の方程式の一般形のに点A,点B,点Cの座標を代入して得られる連立方程式

を解いても3点を含む平面の方程式を求めることができる.

●方法3

平面の法線ベクトル

とする.

 

より,を求める.

を通り,法線ベクトルが より,平面の方程式は,

となる.

●方法4

平面の法線ベクトル は外積を用いると,

となる.

法線ベクトルが求まり,平面は点 を通ることより,平面の方程式を求めることができる.

 

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最終更新日: 2016年3月2日

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