平面の方程式 

点Pを通り，法線ベクトルが の平面の方程式は，

と表わされる．また，平面の方程式は一般に，

　  （一般形）

と表される．このとき，平面の法線ベクトルは となる．

■平面の方程式の導出

平面は，空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば，一意的に決まる．平面上の点Pの座標を ，法線ベクトルをとし，平面上の任意の点Qの座標をとすると，ベクトル は平面に含まれる． は平面の法線ベクトルなので， と のなす角は90°である．よって内積がゼロとなるので，

となる．この関係から，

となり，平面の方程式が求まる．

■平面の方程式の求め方のいろいろ】

●空間中の3点で決まる平面の方程式

空間中の3点をA ，B ，C を含む平面の方程式の求め方．

●方法1

3点を含む平面上の点をP とすると， と を用いて を表すと，

となる． ， は媒介変数．これを座標で表すと，

となり，整理すると，

となる．各座標を比べると，

となる．この関係式から， ， を消去すると平面の方程式が得られる．

●方法2

平面の方程式の一般形のに点A，点B，点Cの座標を代入して得られる連立方程式

を解いても3点を含む平面の方程式を求めることができる．

●方法3

平面の法線ベクトル を

とする．

より，を求める．

点 を通り，法線ベクトルが より，平面の方程式は，

となる．

●方法4

平面の法線ベクトル は外積を用いると，

となる．

法線ベクトルが求まり，平面は点 を通ることより，平面の方程式を求めることができる．

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最終更新日： 2016年3月2日