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双曲線

    目次

  1. 双曲線の定義 (焦点がx軸上の場合)
  2. 双曲線の方程式 (焦点がx軸上の場合)
  3. 双曲線の方程式の漸近線 (焦点がx軸上の場合)
  4. 双曲線の定義 (焦点がy軸上の場合)
  5. 双曲線の方程式 (焦点がy軸上の場合)
  6. 双曲線の方程式の漸近線 (焦点がy軸上の場合)

■双曲線の定義(焦点がx軸上の場合)

平面上で, 定点  ,   からの距離の差が一定で点の軌跡を双曲線といい,

点  ,   を焦点という.

翔曲線1 のとき,焦点座標は である.

であるから,

  となる.

 は双曲線の  軸との交点の距離の差である.

より,双曲線の  軸との交点の  座標の値は ,  である.

この双曲線を表す方程式

  (ただし, )

となる.

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■双曲線の方程式   の導出(焦点がx軸上の場合)

の時

両辺を 乗して,整理すると,

更に両辺を 乗する.

両辺を  で割る.

 より となる.よって とおくと

となる.

のとき

両辺を2乗する.

左辺と右辺を整理して,

更に両辺を2乗する.

 より となる.よって とおくと

となる.

このように,  のときと,  のときで,双曲線の方程式が等しくなる.

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■双曲線の方程式   の漸近線(焦点がx軸上の場合)

双曲線の方程式   より

 あるいは,   の時,  に近づく.

したがって, より, の漸近線は

 

となる.

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■双曲線の定義(焦点がy軸上の場合)

双曲線2

距離の差 

双曲線の 軸との交点の 座標の値は

この双曲線を表す方程式は

  (ただし, )

となる.

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■双曲線の方程式   の導出(焦点がy軸上の場合)

の時

 より となる.よって とおくと  とおくと

となる.

 の時

 より となる.よって とおくと  とおくと

両辺に を掛けて,

となる.

このように, の場合と の場合で方程式が等しくなる.

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■双曲線の方程式 の漸近線(焦点がy軸上の場合)

より,

  あるいは,  の時, となるので,  の値は に近づく.

すなわち, のグラフの漸近線は

となる.

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2013年10月11日

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