曲率・曲率半径 (curvature and radius of curvature)
曲率 (curvature) とは,曲線上のある点におけるその曲線の曲がり具合を表す指標であり,曲率の逆数が曲率半径 (radius of curvature) を表す.曲線上のある点付近の曲線は,その点での曲率半径を半径とする円で近似でき,半径が大きいと曲がり具合が緩く,半径が小さいと曲がり具合がきつくなる.したがって,曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる.
■ 曲率の定義
xy
平面で定義された曲線
y=f(x)
上の点 P
(
x0
,
y0
)
から曲線に沿って
Δs
だけ変位した点を Q とする.この
Δs
部分を円弧とみなし,円の中心を点 C ,角PCQを
Δα
とすると,この円の半径は
R=
|
Δs
Δα
|
である(絶対値をとっているのは角
Δα
が時計回りの場合,負の値となるからである).ここで,極限
Δs→0
をとると,点 P における曲率半径
R=
lim
Δs→0
|
Δs
Δα
|
=
|
ds
dα
|
が求まる.点 P における曲率
κ
は曲率半径
R
の逆数なので次式となる.
κ=
1R
=
|
dα
ds
|
■ 曲線
y=f(x)
の曲率半径
図に示すように,点 P での接線と
x
軸とのなす角を
α
とすると,点 Q での接線と
x
軸とのなす角は
α+Δα
となるので,角PCQは点 P から点 Q の接線の角度の増分に対応する.点 P での接線の傾きは
tanα=
dy
dx
なので,
(tanα
)′
dα=
(
dy
dx
)
′
dx
⇒
dα
cos2
α
=
d2y
dx2
dx
⇒
dα=
cos2α
d2y
dx2
dx
=
1
1+tan2α
d2y
dx2
dx
となり,最終的に
dα=
d2y
dx2
1+
(
dydx
)
2
dx
を得る.また,
ds=
(dx)2
+
(dy)2
=
1+
(
dydx
)
2
dx
であるので,曲率半径
R
は
x
の関数として
R(x)=
|
ds
dα
|
=
|
1+
(
dy
dx
)
2
⋅
1+
(
dy
dx
)
2
d2y
dx2
|
=
{
1+
(
dydx
)
2
}
32
|
d2y
dx2
|
と求まる.点 P では
x=
x0
なので,点 P における曲率半径は
R(x0)
である.
また,点 P 付近の曲線を近似する円の中心 C の座標
(
cx
,
cy
)
は次式で求まる.
(
cx
,
cy
)
=
(
x0
,
y0
)
+
ds
dα
(
−
dy
ds
,
dx
ds
)
=(
x0
,
y0
)
+
(
−
dy
dα
,
dx
dα
)
=(
x0
,
y0
)
+
1+
(
dydx
)
2
d2y
dx2
(
−
dydx
,
1
)
■ パラメータ表示された曲線
x=x(t)
,
y=y(t)
の曲率半径(導出)
曲率半径
R(t)=
{
(
dxdt
)
2
+
(
dydt
)
2
}
32
|
dxdt
d2y
dt2
−
dydt
d2x
dt2
|
円の中心
(
cx
,
cy
)
=
(
x0
,
y0
)
+
(
dxdt
)
2
+
(
dydt
)
2
dxdt
d2y
dt2
−
dydt
d2x
dt2
(
−
dydt
,
dxdt
)
|