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応用分野: 内心

三角形の頂点の二等分線の性質

頂点Aの角の二等分線を とし,BCとの交点をPとすると

PB:PC=AB:AC

である.

■証明

頂点B,頂点Cから二等分線に垂線を下ろし,それぞれの垂線の足をQ,Rとする.

△ABQと△ACRについて考える.

∠BAQ=∠CAR (∵APは∠の二等分線)

∠AQB=∠ARC=90° (∵Q,Rは垂線の足であるから)

より,2角が等しいので,

△ABQ∽△ACR

よって,

AB:AC=BQ:CR ・・・・・・(1)

次に,△PQBと△PRCを考える.

∠QPB=∠RPC (∵対角)

∠PQB=∠PRC=90° (∵Q,Rは垂線の足であるか)

より,2角が等しいので,

△PQB∽△PRC

よって,

BQ:CR=PB:PC ・・・・・・(2)

(1),(2)より

PB:PC=AB:AC

 

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最終更新日 : 2016年3月2日

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