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曲率半径 (curvature and radius of curvature)

曲率 (curvature) は,曲線上のある点におけるその曲線の曲がり具合を示す指標であり,その曲率の逆数が 曲率半径 (radius of curvature) を表す.曲線上の任意の点付近の曲線の微小部分は,その点での曲率半径を半径とする円(曲率円(curvature circle)という)で近似できる.曲率半径が大きいと曲がり具合が緩く,曲率半径が小さいと曲がり具合がきつくなる.したがって,曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる.

■ 曲率半径の定義




JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

曲率円の例(点Pを動かしてみよう)

平面で定義された曲線 上の点 P から曲線に沿って だけ変位した点を Q とする.この 部分を円弧とみなし,その円の中心を点 C ,角PCQを とすると,この円の半径は

である(絶対値をとっているのは角 が時計回りの場合,負の値となるからである).ここで,極限 をとると,点 P における曲率半径

が求まる.点 P における曲率 は曲率半径 の逆数なので次式となる.

ただし,絶対値をとらずに曲率を定義する場合もあり(符号付き曲率 (signed curvature) ),曲率の値は正にも負にもなる.この場合,その符号は微小角度 の向きを表し,正のとき反時計回りの向き,負のとき時計回りの向きを示す.

■ 曲線 の曲率半径

図に示すように,点 P での接線と 軸とのなす角を とすると,点 Q での接線と 軸とのなす角は となるので,角PCQは点 P から点 Q の接線の角度の増分に対応する.点 P での接線の傾きは

なので,

    ⇒         ⇒    

となり,最終的に

を得る.また,

であるので,曲率半径 の関数として

と求まる.点 P では なので,点 P における曲率半径は である.

また,曲率中心 (center of curvature)(点 P 付近の曲線を近似する円の中心)C の座標 は次式で求まる.


■ パラメータ表示された曲線 , の曲率半径(導出)

曲率半径 

曲率中心 


■ 陰関数表示された曲線 の曲率半径(導出)

曲率半径 

曲率中心 

ここで,行列 は 3×3の正方行列

であり,

である.


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