重心
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重心

■重心の定義

三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線分の交点.
 (右の図の点Gが重心)

■特徴

AG:A'G=BG:B'G=CG:C'G=2:1

■証明

まず,

△AGB'の面積をS1,△AGC'の面積をS2,
△BGC'の面積をS3,△BGA'の面積をS4,
△CGA'の面積をS5,△CGB'の面積をS6,

とする.

A',B',C' は各辺の中点であるから,

S4=S5・・・・・・(1)
S6=S1・・・・・・(2)
S2=S3・・・・・・(3)
△AA'Bの面積(S2+S3+S4)=△AA'Cの面積(S5+S6+S1)・・・(4)
△BB'Cの面積(S4+S5+S6)=△BB'Aの面積(S1+S2+S3)・・・(5)
△CC'Aの面積(S6+S1+S2)=△CC'Bの面積(S3+S4+S5)・・・(6)

(1),(4)より,

S2+S3=S6+S1・・・・・・(7)

(1),(2),(7)より,

S1=S2=S3=S6・・・・・・(8)

(2),(5)より,

S4+S5=S2+S3・・・・・・(9)

(1),(3),(9)より,

S2=S3=S4=S5・・・・・・(10)

(8),(10)より,

S1=S2=S3=S4=S5=S6・・・・・・(11)

したがって,

△AGBの面積(S2+S3):△A'GBの面積(S4)=2:1

以上より,

AG:A'G=2:1

同様にして,

BG:B'G=2:1

同様にして,

CG:C'G=2:1

 

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最終更新日: 2013年10月4日

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