2直線のなす角

2つの直線の方程式を

$y=m_{1}x+n_1$，$y=m_{2}x+n_2$

とすると，上記2直線のなす角 $\theta$$\left(0°\le \theta <180°\right)$ は

■${\displaystyle m_1{m}_2\ne -1}$  の場合

${\displaystyle tan\theta =\pm \frac{m_2-m_1}{1+m_2{m}_1}}$  

■${\displaystyle m_1{m}_2=-1}$  の場合

${\displaystyle \theta =90°}$

2直線が垂直に交わる条件を参照

 

■導出計算

図参照．${\displaystyle m_1{m}_2\ne -1}$  とする．

tanの定義より $m_1=tan{\theta }_1$ ，$m_2=tan{\theta }_2$． よって

${\displaystyle tan\theta }$${\displaystyle =tan\left({\theta }_2-{\theta }_1\right)}$${\displaystyle =\frac{tan{\theta }_2-tan{\theta }_1}{1+tan{\theta }_{2}tan{\theta }_1}}$${\displaystyle =\frac{m_2-m_1}{1+m_2{m}_1}}$　　･･････（1）

(加法定理を参照)

2直線のなす角は$\theta$の補角 $180°-\theta$  もある．

$tan\left(180°-\theta \right)=-tan\theta$  ･･････（2）

よって，（1），（2）より， 2直線のなす角${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \left(0°\le \theta <180°\right)}$ は

${\displaystyle tan\theta =\pm \frac{m_2-m_1}{1+m_2{m}_1}}$   

となる．

参考ページ： 複素数を用いた2直線のなす角

 

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最終更新日 2023年2月22日