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応用分野: 2直線のなす角

2直線が垂直に交わる条件

2つの直線の傾きを とすると,垂直に交わる(直交する)ための条件は,

である.

参考ページ:2直線のなす角

■証明

 とする.2つの直線の交点をX,交点Xの右側に  軸に平行な直線を引き,傾きが の直線との交点をP,傾きが の直線との交点をQとする.交点Xを通り,  軸に平行な直線を引き,直線PQとの交点をRとする.以上のように,点X,P,Q,Rをとると△XRP,△XRQは直角三角形になる.

直線の傾きの定義より

 ・・・・・・(1)

 ・・・・・・(2)

△XRPが直角三角形より,三平方の定理が成り立つので,

   (∵(1))

 ・・・・・・(3)

△XRQが直角三角形より,三平方の定理が成り立つので,

    (∵(2))

 ・・・・・・(4)

2つの直線が垂直に交わると,∠PXQ=90°となり△PXQは直角三角形になる.よって,三平方の定理より,

  •     (∵(3),(4))

  •     (∵(1),(2))

2直線が垂直に交わると,である.

一方,  ならば,

  •     (∵(1),(2),(3),(4))

よって,

となり,△PXQにおいて三平方の定理がなりたち,△PXQは直角三角形である.よって,

∠PXQ=90°

すなわち,2直線は垂直に交わる.

以上より,証明された.

 

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最終更新日 2016年3月3日

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