2直線が垂直に交わる条件

2直線が垂直に交わる条件

2つの直線の傾きを m 1 m 2  とすると,垂直に交わる(直交する)ための条件は

m 1 m 2 =1

である.

参考ページ:2直線のなす角

■証明

m 1 >0, m 2 <0  とする.2つの直線の交点を X ,交点 X の右側に y  軸に平行な直線を引き,傾きが m 1 の直線との交点を P ,傾きが m 2 の直線との交点を Q とする.交点Xを通り, x  軸に平行な直線を引き,直線 PQ との交点を R とする.以上のように,点 X P Q R をとると△ XRP ,△ XRQ は直角三角形になる.

直線の傾きの定義より

PR XR = m 1  ・・・・・・(1)

QR XR = m 2  ・・・・・・(2)

△XRPが直角三角形より,三平方の定理が成り立つので

XP 2 =XR 2 + PR 2

= XR 2 + ( XR· m 1 ) 2    (∵(1))

= XR 2 ( 1+ m 1 2 )  ・・・・・・(3)

XRQ が直角三角形より,三平方の定理が成り立つので

XQ 2 =XR 2 + QR 2

= XR 2 + ( XR· m 2 ) 2     (∵(2))

= XR 2 ( 1+ m 2 2 )  ・・・・・・(4)

2つの直線が垂直に交わると, PXQ=90° となり△ PXQ は直角三角形になる.よって,三平方の定理より

PQ 2 = XP 2 + XQ 2

2 m 1 m 2 =2

m 1 m 2 =1

2直線が垂直に交わると,m 1 m 2 =1 である.

一方,m 1 m 2 =1  ならば

PQ 2 ( XP 2 + XQ 2 )

= ( PR+QR ) 2 XP 2 XQ 2

= XR· m 1 XR· m 2 2 XR 2 1+ m 1 2 XR 2 ( 1+ m 2 2 )     (∵(1),(2),(3),(4))

= XR 2 ( m 1 m 2 ) 2 XR 2 ( 1+ m 1 2 ) XR 2 ( 1+ m 2 2 )

= ( m 1 m 2 ) 2 ( 1+ m 1 2 ) ( 1+ m 2 2 )

= m 1 2 2 m 1 m 2 + m 2 2 1 m 1 2 1 m 2 2

=2 m 1 m 2 2

=0

よって

PQ 2 = XP 2 + XQ 2

となり,△ PXQ において三平方の定理がなりたち,△ PXQ は直角三角形である.よって

PXQ=90°

すなわち,2直線は垂直に交わる.

以上より,証明された.

 

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最終更新日 2023年2月22日