大小比較

  1. 分数の場合
  2. 指数の場合
  3. 対数の場合

■分数の場合

分母を等しくする.

指数累乗累乗根)の場合

をそろえる

r s が実数で, r>s  であるなら

a>1  のとき, a r > a s

0<a<1  のとき, a r < a s

例)  32 3  と 2 2  の大小を比較せよ.

32 3  を累乗の形にすると

32 3 = 2 5 3 = ( 2 5 ) 1 3 = 2 5 3

となる.底は2で1より大きい.

よって,指数を比較すと, 5 3 <2  より

32 3 < 2 2  

となる.

指数をそろえる

大小関係が保たれる a>b a y > b y (ただし, y>0 ) の関係を利用して指数をそろえ比較する.

例)  3 3 7 6 の大小を比較せよ.

  3 3 7 6 を累乗の形にすると, 3 1 3 7 1 6  になる.指数を 1 3 にそろえるために,各数を2乗する.

( 3 1 3 ) 2 = ( 3 2 ) 1 3 = 9 1 3  , ( 7 1 6 ) 2 = 7 ( 1 6 ×2 ) = 7 1 3    計算方法に関しては指数法則を参照のこと

9 1 3 > 7 1 3  

よって

3 3 > 7 6  

対数の場合

をそろえる.

r s が実数で, r>s  であるなら

a>1  のとき, log a r> log a s

0<a<1  のとき, log a r< log a s

例)  log 4 8  と log 2 3  の大小を比較せよ.

まず, log 4 8  の底を2にする.  

log 4 8= log 2 8 log 2 4 = log 2 2 3 log 2 2 2 = log 2 2 3 2 log 2 2 = 1 2 log 2 2 3 = log 2 ( 2 3 ) 1 2 = log 2 ( 2 3 2 )  

底の変換公式対数計算の基本を参照のこと 

次に真数の 2 3 2   と3の大小を比較する.

指数の場合の指数をそろえるに対応する.指数を1にそろえるため,各値を2乗する.

( 2 3 2 ) 2 = 2 3 =8= 8 1  , 3 2 =9= 9

8<9  より, 2 3 2 <3  よって

log 4 8< log 2 3  

となる.

 

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最終更新日 2023年10月5日