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応用分野: 関数の極限値の性質関数の極限の求め方極限 n→0 x^n極限 x→0 (e^x-1)/x極限 x→0 x/e^x

関数の極限の定義

■収束について 

関数 において, と異なる値をとりながらに限りなく近づくとき,が一定値に限りなく近づく場合

(あるいは, のとき

と表す.のときの極限値とい, のとき,収束するという.

■発散について 

関数において,と異なる値をとりながらに限りなく近づくとき, それに応じて,の値が限りなく大きくなる場合 

(または,のとき

と表す .のとき,正の無限大に発散する という.

またと異なる値をとりながらに限りなく近づくとき, の値が負で,その絶対値が限りなく大きくなる場合 

(または, のとき

と表す .のとき,負の無限大に発散する という.

■極限なし 

関数について 

 

のいずれでもない場合,のときの極限はないという. 

■右側極限,左側極限

変数が1つの値に限りなく近づくとき,より大きい値をとりながらに近づく場合とより小さい値をとりながらに近づく場合がある. 

  • より大きい値をとりながらに近づく場合には 

  • より小さい値をとりながらに近づく場合には 

と表し, の場合はそれぞれ,  と表す.

のときのの極限を,それぞれに近づくときの右側極限左側極限といい 

 

と表す. 

であることは, と異なる値をとりながら に限りなく近づくとき, どのような近づき方をしても, の値は に限りなく近づくことを意味している.

したがって,

ならば

である. の値が異なるならば のときのの極限はない. 

のときの極限

これまでは,が一定の数を表すとき,のときの関数の極限を考えたが,の値が限りなく大きくなる),あるいは の値が負でその絶対値の値が限りなく大きくなる)の場合の極限について説明する. 

のとき,関数がある一定値に限りなく近づく場合

のとき)  

と表す.

のとき,関数がある一定値に限りなく近づく場合

のとき)  

と表す.

 

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初版:2010年10月9日,最終更新日: 2014年11月1日

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