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自然対数の底 e の定義

 自然対数の底 は以下に示す極限の式で定義されている.

とおくと, のとき となる.よって,上式は

 

と表すこともできる.

 の値は,2.71828182845904・・・・・・・・・

の特徴は,関係式   が成り立つことである.すなわち, を底とする指数関数は,それ自身の導関数と等しくなる.

この自然対数の底 のことをネイピアの数ともいう.

■参考

自然対数の底 e は数学者オイラーが対数関数 の導関数を求める過程で発見した.

導関数の定義に従って計算する.

 
   
   
  とおくと, のときとなる.よって,  
   
   
   
   

を0に近づけていったときの の値を計算してみる. 

0.1 0.01 0.001 0.0001
@: 2.59374・・・ 2.70481・・・ 2.71692・・・ 2.71814・・・
-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001
A: 2.86797・・・ 2.73199・・・ 2.71964・・・ 2.71841・・・
A−@ 0.27422・・・ 0.02718・・・ 0.00271・・・ 0.00027・・・

の値は上の表よりある値に近づいていることがわかる.その値は,2.71828182845904・・・・・・・・・の無理数となり e の記号をつかって表す.

より, 

 参照

 参照

の関係式が得られる.

の最大の特徴

eを底とする指数関数は,それ自身の導関数と等しくなる.

参考文献:対数eの不思議 著者 堀場芳数 講談社

 

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初版:2005年3月12日,最終更新日: 2011年8月30日

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