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sinθ+cosθ=Cが与えられている問題の解き方

三角関数の問題で,よく出題されるのが, sinθ+cosθ=C  という条件が与えられ, sinθ cosθ からなる対称式の値を求めよというような問題がある.ただし, Cは定数である.

この場合, sinθ+cosθ=C  の両辺を2乗して,式を変形し sinθcosθ の値を求める.

( sinθ+cosθ ) 2 = C 2  

sin 2 θ+2sinθcosθ+ cos 2 θ= C 2

1+2sinθcosθ= C 2    ( sin 2 θ+ cos 2 θ=1 )

sinθcosθ= C 2 1 2

となり,sinθcos θ の値を求めることができる.対称式は,基本対称式で表わすことができるので

{ sinθ+cosθ=C sinθcosθ= C 2 1 2

から,対称式の値を求めることができる.

 また, sinθ+cosθ=C  のとき, sinθ cosθ の値を求めよという問題もよくある.

 この場合は, sinθ cosθ を2次方程式の解 α β と考えると

{ sinθ+cosθ=C sinθcosθ= C 2 1 2

解と係数の関係に相当するので

x 2 Cx+ C 2 1 2 =0

の2次方程式の解を求めることにより, sinθ cosθ の値を求めることができる.

 

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最終更新日: 2023年3月10日

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