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三角関数の合成公式

■ ｓｉｎ（正接）での合成

$3$a\sin {\theta}+b\cos {\theta}=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin $ {\theta}+{\alpha} $$

ただし， $3${\alpha}$ はsinの係数 $3$a$ を $3$x$ 成分，cosの係数 $3$b$ を $3$y$ 成分とする点Pと原点Oを結ぶ線分OPと $3$x$ 軸のなす角を一般角で表したものである．

いいかえると， $3$\displaystyle{\sin \alpha =\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$ , $3$\displaystyle{\cos \alpha =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$ を満たす $3$\alpha$ とする．

通常， $3$\displaystyle{- 180^\circ < \alpha \leq 180^\circ }$ とする．

⇒公式の導出

■ cos（余弦）での合成

$3$\displaystyle{a\sin {\theta}+b\cos {\theta}=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos $ {\theta}- {\beta} $ }$

ただし， $3${\beta}$ はcosの係数 $3$b$ を $3$x$ 成分，sinの係数 $3$a$ を $3$y$ 成分とする点Qと原点Oを結ぶ線分OQと $3$x$ 軸のなす角を一般角で表したものである．

いいかえると， $3$\displaystyle{\sin {\beta}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$ , $3$\displaystyle{\cos {\beta}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$ を満たす $3${\beta}$ とする．

通常， $3$\displaystyle{- 180^\circ < {\beta}\leq 180^\circ }$ とする．

⇒公式の導出

■公式の導出

●sinでの合成：

右の図より， $3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ b> 0 }$ ， $3$\displaystyle{0< {\theta}< 90^\circ }$ の場合，合成公式が導かれる．

次に， $3$\displaystyle{a\neq 0}$ あるいは $3$\displaystyle{b\neq 0}$ において式を変形して合成の公式を導く．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} & a\sin {\theta}+b\cos {\theta} & \vspace{6}\\ =& \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\sin {\theta}+\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\cos {\theta} & \vspace{6}\\ =& \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } $ \sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}+\cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\cos {\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\sin {\alpha}}$ とおくと，

$3$\displaystyle{=}$	$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } $ \sin {\theta}\cos {\alpha}+\cos {\theta}\sin {\alpha} $ }$
$3$\displaystyle{=}$	$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin $ {\theta}+{\alpha} $ }$	（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 加法定理より）

三角関数の合成

●cosでの合成：

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} & a\sin {\theta}+b\cos {\theta} & \vspace{6}\\ =& b\cos {\theta}+a\sin {\theta} & \vspace{6}\\ =& \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\cos {\theta}+\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\sin {\theta} & \vspace{6}\\ =& \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } $ \cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}+\sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\cos {\beta}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\sin {\beta}}$ とおくと，

$3$\displaystyle{=}$	$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } $ \cos {\theta}\cos {\beta}+\sin {\theta}\sin {\beta} $ }$
$3$\displaystyle{=}$	$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos $ {\theta}-{\beta} $ }$	（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 加法定理より）

　三角関数の合成

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初版：2004年7月1日，最終更新日： 2012年10月26日

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