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応用分野: 加法定理の証明

ベクトルを用いた加法定理の証明

(複号同順)

■証明

軸の正方向の基本ベクトルを軸の正方向の基本ベクトルを単位円上の点Pの位置ベクトルをとする. を成分表示すると,

 ・・・・・・(1)

と表されるとする.ただし,三角関数の定義より,

 ・・・・・・(2)

 ・・・・・・(3)

となる.

軸の正方向の基本ベクトルを軸の正方向の基本ベクトルをとすると,の基本ベクトル表示は,

   ・・・・・・(4)

ここで, を原点を中心に角度 だけ半時計回りに回転させたものをそれぞれとすると,それぞれのベクトルの位置関係は変わらないので,

 ・・・・・・(5)

の関係が得られる.

 を成分表示で表すと,

 ・・・・・・(6)

   (三角関数の計算の基礎を参照) ・・・・・・(7)

となる.

(6),(7)を(5)に代入すると,

   ・・・・・・(8)

となる.

一方,軸のなす角 であるので,を成分表示で表すと,

 ・・・・・・(9)

となる.

(8)と(9)は同じを成分表示したものであるので,そてぞれの成分はお互いに等しい.よって,

 ・・・・・・(10)

・・・・・・(11)

となる.

以上より加法定理が導かれた.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>加法定理>>加法定理の証明(ベクトル編)

初版:2007年3月16日,最終更新日 2016年2月29日

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