三角関数 積和の公式

積和の公式

sinαcosβ= 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) }  公式の導出

cosαcosβ= 1 2 { cos( α+β )+cos( αβ ) } 公式の導出

sinαsinβ= 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) } 公式の導出

■積和の公式の導出

sinαcosβ= 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) } の導出

sinの加法定理より

sin( α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ   ・・・・・・(1)

sin( αβ )=sinαcosβcosαsinβ   ・・・・・・(2)

である.(1)+(2)より

sin( α+β )+sin( αβ )=2sinαcosβ  ・・・・・・(3)

(3)を変形して

sinαcosβ= 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) }

が得られる.

cosαcosβ= 1 2 { cos( α+β )+cos( αβ ) } の導出

cosの加法定理より

cos( α+β )=cosαcosβsinαsinβ   ・・・・・・(4)

cos( αβ )=cosαcosβ+sinαsinβ   ・・・・・・(5)

である.(4)+(5)より

cos( α+β )+cos( αβ )=2cosαcosβ   ・・・・・・(6)

(6)を変形して

cosαcosβ= 1 2 { cos( α+β )+cos( αβ ) }

が得られる.

sinαsinβ= 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) } の導出

cosの加法定理より

cos( α+β )=cosαcosβsinαsinβ   ・・・・・・(4)

cos( αβ )=cosαcosβ+sinαsinβ   ・・・・・・(5)

である.(4)−(5)より,

cos( α+β )cos( αβ )=2sinαsinβ   ・・・・・・(7)

(7)を変形して

sinαsinβ= 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) }

が得られる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>積和の公式

最終更新日 2023年3月2日