三角関数 積和の公式
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積和の公式

 

 

  • sinαsinβ= 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) }
  •   公式の導出

 

■積和の公式の導出

sinαcosβ= 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) } の導出

sinの加法定理より,

  • sin( α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ
  •   ・・・・・・(1)

 

  • sin( αβ )=sinαcosβcosαsinβ
  •   ・・・・・・(2)

 

である.(1)+(2)より,

sin( α+β )+sin( αβ )=2sinαcosβ  ・・・・・・(3)

(3)を変形して,

sinαcosβ= 1 2 { sin( α+β )+sin( αβ ) }

が得られる.

cosαcosβ= 1 2 { cos( α+β )+cos( αβ ) } の導出

cosの加法定理より,

  • cos( α+β )=cosαcosβsinαsinβ
  •   ・・・・・・(4)

 

  • cos( αβ )=cosαcosβ+sinαsinβ
  •   ・・・・・・(5)

 

である.(4)+(5)より,

  • cos( α+β )+cos( αβ )=2cosαcosβ
  •   ・・・・・・(6)

 

(6)を変形して,

cosαcosβ= 1 2 { cos( α+β )+cos( αβ ) }

が得られる.

sinαsinβ= 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) } の導出

cosの加法定理より,

  • cos( α+β )=cosαcosβsinαsinβ
  •   ・・・・・・(4)

 

  • cos( αβ )=cosαcosβ+sinαsinβ
  •   ・・・・・・(5)

 

である.(4)−(5)より,

  • cos( α+β )cos( αβ )=2sinαsinβ
  •   ・・・・・・(7)

 

(7)を変形して,

sinαsinβ= 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) }

が得られる.

 

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最終更新日 2015年9月1日

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