正弦定理
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正弦定理

 三角形の各辺a ,b ,c と各角A ,B ,C の間に以下に示す関係がある.

a sinA = b sinB = c sinC

この関係を,正弦定理という.

 三角形の外接円の半径を R とすると,正弦定理は,

a sinA = b sinB = c sinC =2 R

となる.

■証明

 三角形の頂点Cから辺ABに垂線CDを引く.
直角三角形ACDと直角三角形BCDができる.
直角三角形の辺と三角比より

△ACDより: sinA= CD AC CD=ACsinA

△BCDより: sinB= CD BC CD=BCsinB

ACsinA=BCsinB

式を変形して, BC sinA = AC sinB

よって,

a sinA = b sinB       ( a=BC,b=AC )  ・・・・・・(1)

同様にして,

a sinA = c sinC   ・・・・・・(2)

b sinB = c sinC   ・・・・・・(3)

(1),(2),(3)より 

a sinA = b sinB = c sinC  

 次に,△ABCの外接円を描き,その円の中心をO,半径を R とする.BOを延長して外接円と交わる点をA'とする. ∠BAC=∠BA'C(∵円周角の定理)で,∠A'CB=90°であることより,

2RsinB A C=a  →  2RsinA=a ,すなわち, a sinA =2R

となる.よって,正弦定理は,

a sinA = b sinB = c sinC =2 R

となる.


正弦定理

 

 

 

 

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初版:204年7月1日,最終更新日: 2007年10月6日

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