余弦定理

余弦定理

三角形の各辺 a , b , c と各角 A , B , C の間には以下に示す関係がある.

a 2 = b 2 + c 2 2bccosA b 2 = c 2 + a 2 2cacosB c 2 = a 2 + b 2 2abcosC

この関係を余弦定理という.

■証明

三角形の頂点 C から辺 AB に垂線 CD を引く.
直角三角形 ACD と直角三角形 BCD ができる.
直角三角形 BCD 三平方の定理を用いると

CB 2 = CD 2 + BD 2 ・・・・・・(1)

となる.

CB = a CD = b sin A  (⇒ここを参照), BD = c b cos A  の関係を(1)に代入すると

a 2 = ( bsinA ) 2 + ( cbcosA ) 2   = b 2 sin 2 A+ c 2 2cbcosA+ b 2 cos 2 A   = b 2 ( sin 2 A+ cos 2 A )+ c 2 2cbcosA   = b 2 + c 2 2bccosA a 2 = b 2 + c 2 2bccosA

が求められる.

A=90° ,鈍角の場合の証明は省略

同様にして,

b 2 = c 2 + a 2 2cacosB c 2 = a 2 + b 2 2abcosC

も求められる.

 

■内積を用いた証明

図より(図を理解するには内積の幾何学的検討のページが参考になる)

c = a b  ・・・・・・(2)

両辺のベクトルの大きさも等しくなるので

c = a b  ・・・・・・(3)

(3)の両辺を2乗する.

c 2 = a b 2  ・・・・・・(4)

内積の計算則を使って,(4)の右辺を以下のように式変形をする.

c 2 = a b a b

= a b a + a b b

= a b a a b b

= a a b a a b + b b

= a 2 + b 2 2 a b

= a 2 + b 2 2 a b cosθ

ここで

a =a b =b c =c とおくと

c 2 = a 2 + b 2 2abcosθ

となり,余弦定理が導かれた.

 

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最終更新日: 2023年10月26日