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ウォリス(ワリス)の公式: 積分 (sinx )^n  (cosx )^n

:偶数

:奇数
   

この積分は,下図の赤の領域の面積を求めていることになる.
積分区間が0から でない場合は,周期性,対称性に注意して適用すること.

 のグラフ(青線:  )
 
 のグラフ(青線:  )
 のグラフ(青線:  )
 のグラフ(青線:  )
 のグラフ(青線:  )
 のグラフ(青線:  )

■計算例

 

 

 

■式の導出

 

とおく.部分積分によって,

 

となる.よって,漸化式

 

が得られる.

  ,    

であるので,

  ( が偶数の場合) 

  ( が奇数の場合) 

となる.次に,

 を求める. 

  なので,置換積分を使って   の結果を利用する.

  とおくと, となるので,

 

と計算できる.すなわち, となる.  

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>三角関数(正弦,余弦,正接)の積分>>積分 (sinx )^n  (cosx )^n

初版:2004年8月23日,最終更新日: 2010年12月24日

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