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円錐の体積

　円錐の体積は　 $3$\displaystyle{V=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}{r}^{2}h}$ 　（ $3$\displaystyle{r}$ ：半径， $3$\displaystyle{h}$ ：高さ）の公式で求めることができる．
　この公式は，円柱の体積の公式　 $3$\displaystyle{V={\pi}{r}^{2}h}$ 　に　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　をかけたものと考えることができるが，
なぜ円柱の体積に　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　をかけることにより円錐の体積が得られるのかを，定積分法と区分求積法を用いて説明する．

　ここで，説明に用いる円錐は $3$\displaystyle{f $x$ =x}$ ， $3$\displaystyle{0\leq x\leq 1}$ （半径1，高さ1）のものとする．

■導出

●円柱の体積

　円柱の体積の公式より，

$3$\displaystyle{V={\pi}{r}^{2}h}$

$3$\displaystyle{={\pi}\times {1}^{2}\times 1}$

$3$\displaystyle{={\pi}}$

●円錐の体積の公式を用いた場合

　円錐の体積の公式より，

$3$\displaystyle{V=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}{r}^{2}h}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}\times {1}^{2}\times 1}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

●定積分の公式を用いた場合

　定積分の基本式より，

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b} =F $b$ - F $a$ }$ 　　　（ $3$\displaystyle{F $x$ }$ は $3$\displaystyle{f $x$ }$ の原始関数の1である）

求める円錐の底面積 $3$\displaystyle{ S $x$ }$ を $3$\displaystyle{S $x$ ={\pi}{ \{ f $x$ \} }^{2}}$ とすると，（これについては，体積の計算を参照）

$3$\displaystyle{\int _{0}^{1} S $x$ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} {\pi}{ \{ f $x$ \} }^{2}dx }$

$3$\displaystyle{={\pi}\int _{0}^{1} {x}^{2}dx }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ {1}^{3}- {0}^{3} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

●区分求積法を用いた場合

右端型の場合

$3$\displaystyle{\int _{0}^{1} S $x$ dx}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} {\pi}{x}^{2} dx}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \{ f $1$ +f $2$ +\cdots +f $ n- 1 $ +f $n$ \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \{ { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2}+\cdots +{ $ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2} \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}} \{ {1}^{2}+{2}^{2}+\cdots +{ $ n- 1 $ }^{2}+{n}^{2} \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n $ n+1 $ $ 2n+1 $ }$
　　　　　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n $ n+1 $ $ 2n+1 $ }$ については， $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} }$ の計算式を参照．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }$
　　　　　 $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }}$ より， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}=0}$ のため， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ 1+0 $ $ 2+0 $ =\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$
　　　　　

　左端型の場合

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{1} S $x$ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} {\pi}{x}^{2} dx}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \{ { $ \frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2}+\cdots +{ $ \frac{\hspace{2} n- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }^{2} \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}} \{ {0}^{2}+{1}^{2}+\cdots +{ $ n- 2 $ }^{2}+{ $ n- 1 $ }^{2} \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ n- 1 $ n \{ 2 $ n- 1 $ +1 \} }$ 　　　　　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ n- 1 $ n \{ 2 $ n- 1 $ +1 \} }$ については，
　　　　　 $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} }$ の計算式を参照．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ n- 1 $ n $ 2n- 1 $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ $ 2- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ }$
　　　　　 $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }}$ より， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}=0}$ のため， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ 1- 0 $ $ 2- 0 $ =\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

　これより，定積分の公式と区分求積法のどちらの方法を用いても，円錐の体積は円柱の体積に　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　をかけたものであることがわかる．

　また，区分求積法の具体的な計算例についてはここを参照．

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初版：2007年11月27日，最終更新日： 2007年12月18日

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