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応用分野: 円錐の体積区分求積法の基本式

区分求積法の例

区分求積法の右端型と左端型について, f( x )= x 2 として考える.

右端型 : lim n 1 n { f( 1 n )+f( 2 n )++f( n1 n )+f( n n ) } = 0 1 f( x )dx

左端型 : lim n 1 n { f( 0 )+f( 1 n )+f( 2 n )++f( n1 n ) } = 0 1 f( x )dx

ここで, n は積分範囲を分割した数である.

■導出

●定積分の公式を用いた場合

 定積分の基本式より,

a b f( x )dx= [ F( x ) ] a b =F( b )F( a )     ( F( x ) f( x ) の原始関数の1である )

0 1 x 2 dx = 1 3 [ x 2 ] 0 1 = 1 3 =0.333

●右端型の区分求積の場合

0 1 x 2 dx = lim n 1 n { f( 1 )+f( 2 )++f( n1 )+f( n ) }

= lim n 1 n { ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 ++ ( n1 n ) 2 + ( n n ) 2 }

= lim n 1 n · 1 n 2 { 1 2 + 2 2 ++ ( n1 ) 2 + n 2 }

= lim n 1 n · 1 n 2 k=1 n k 2

k=1 n k 2 = 1 6 n n+1 2n+1 より

= lim n 1 n · 1 n 2 · 1 6 n( n+1 )( 2n+1 )

= lim n 1 6 ( 1+ 1 n )( 2+ 1 n )

n のとき, 1 n 0 より

= 1 6 ( 1+0 )( 2+0 )

= 1 3

●左端型の区分求積の場合

0 1 x 2 dx = lim n 1 n { f( 0 )+f( 1 )++f( n2 )+f( n1 ) }

= lim n 1 n { ( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 ++ ( n2 n ) 2 + ( n1 n ) 2 }

= lim n 1 n · 1 n 2 0 2 + 1 2 ++ n2 2 + n1 2

= lim n 1 n · 1 n 2 0 2 + k=1 n1 k 2

k=1 n1 k 2 = 1 6 n1 n 2 n1 +1 より(ここを参照)

= lim n 1 n · 1 n 2 · 1 6 ( n1 )n{ 2( n1 )+1 }

= lim n 1 n · 1 n 2 · 1 6 ( n1 )n( 2n1 )

= lim n 1 6 ( 1 1 n )( 2 1 n )

n のとき, 1 n 0 より

= 1 6 ( 10 )( 20 )

= 1 3

よって,右端型と左端方のどちらを用いても,定積分の公式を用いた場合の答と同じ値を得ることができる.

■具体的な n の値における計算結果

●その1

n=10 の場合

右端型

k=1 10 1 10 f( k 10 ) = 1 10 { f( 1 10 )+f( 2 10 )++f( 9 10 )+f( 10 10 ) }

= 1 10 { ( 1 10 ) 2 + ( 2 10 ) 2 ++ ( 9 10 ) 2 + ( 10 10 ) 2 }

= 1 10 { 1 100 + 4 100 ++ 81 100 + 100 100 }

= 1 10 · 385 100

=0.385

左端型

k=1 10 1 10 f( k1 10 ) = 1 10 { f( 0 )+f( 1 10 )+f( 2 10 )++f( 9 10 ) }

= 1 10 { ( 0 ) 2 + ( 1 10 ) 2 + ( 2 10 ) 2 ++ ( 9 10 ) 2 }

= 1 10 { 0+ 1 100 + 4 100 ++ 81 100 }

= 1 10 · 285 100

=0.285

●その2

n=1000 の場合

右端型

k=1 1000 1 1000 f( k 1000 )

= 1 1000 { f( 1 1000 )+f( 2 1000 )++f( 999 1000 )+f( 1000 1000 ) }

= 1 1000 { ( 1 1000 ) 2 + ( 2 1000 ) 2 ++ ( 999 1000 ) 2 + ( 1000 1000 ) 2 }

= 1 1000 { 1 1000000 + 4 1000000 ++ 998001 1000000 + 1000000 1000000 }

= 1 1000 · 33383350 1000000

=0.3338335

左端型

k=1 1000 1 1000 f( k1 100 ) = 1 1000 { f( 0 )+f( 1 1000 )+f( 2 1000 )++f( 999 1000 ) }

= 1 1000 { ( 0 ) 2 + ( 1 1000 ) 2 + ( 2 1000 ) 2 ++ ( 999 1000 ) 2 }

= 1 1000 { 0+ 1 1000000 + 4 1000000 ++ 998001 1000000 }

= 1 1000 · 33283350 1000000

=0.3328335

また,各分割数で計算した場合の値は以下のようになる.(一部の値には誤差を含む)

n 10 100 1000 10000
右端型 0.385 0.33835 0.3338335 0.333383334999998  
左端型 0.285 0.32835 0.3328335 0.333283334999998
n 20000 50000 100000 1000000
右端型 0.333358333749998  0.3333433334 0.33333833335 0.3333338333335
左端型 0.333308333749998 0.3333233334 0.33332833335 0.3333328333335

この表から,区分求積法は分割数が増えるごとに定積分の公式を用いた場合の値に近づいていくことがわかる.

 

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最終更新日: 2022年12月5日

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