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定積分で定義された関数の微分

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dx=f\left(x\right)}$ 　

ポイント： $f\left(t\right)$の部分には $x$ を含んでいてはいけない． 積分範囲に注意．$x$ は上端でなければならない．

■導出

●その１

　関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$の原始関数を${\displaystyle F\left(x\right)}$とすると${\displaystyle \left(\frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)\right)}$

${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)-F\left(a\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(x\right)dx}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{F\left(x\right)-F\left(a\right)\right\}}$

${\displaystyle =F^{\prime }\left(x\right)}$　${\displaystyle \left(\because F^{\prime }\left(a\right)=0\right)}$

${\displaystyle =f\left(x\right)}$

●その２

　${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dx=F\left(x\right)}$とおく． x がx から${\displaystyle x+\Delta x}$ に増加したときの${\displaystyle F\left(x\right)}$ の増加量を${\displaystyle \Delta F}$ とすると，

${\displaystyle F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)=\Delta F}$

と表すことができる．

拡大図より ，${\displaystyle \Delta F=\Delta x·f\left(u\right)}$ となるu が存在することがわかる．この関係は${\displaystyle \Delta x<0}$ の時も成り立つ．

$\Delta x\to 0$ のとき，${\displaystyle u\to x}$ ，${\displaystyle f\left(u\right)\to f\left(x\right)}$となることから

${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)}{\Delta x}}$${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta F}{\Delta x}}$${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta x·f\left(u\right)}{\Delta x}}$${\displaystyle =f\left(x\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dx=f\left(x\right)}$

が得られる．

　

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最終更新日： 2023年7月30日

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