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応用分野: 曲線の長さ定積分と面積定積分の定義

和の極限としての定積分の定義


 原始関数で定積分を定義すると,定積分の意味することがらが理解しにくい.よって,和の極限としての定積分の定義を以下に示す.

 関数は閉区間 で定義されている. この区間

となる 個の小区間に分割し,と定める. の中で最大の値を で表す.それぞれの区間 の中に任意の点をとり,となる値を から まで足し合わせた値(リーマン和と呼ぶ)

を考える. ここで,閉区間の分割数 の値を大きくしていく(の値を小さくしていく)と,分割の仕方およびのとり方に関係なくある値 に収束するなら,式で示すと,

となるなら,で積分可能であるといい,

と表し, から までの定積分という.

 閉区間 で関数 が連続ならば, で積分可能となる.

 区間とすると,の値は長方形の面積になり,分割を限りなく細かくしたときの長方形の面積の和,すなわちは,関数 の曲線と 軸で挟まれた領域で,区間 の面積を表す(定積分と面積を参照のこと).

 

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初版:2004年11月8日 ,最終更新日: 2007年7月4日

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