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応用分野: 体積の計算区分求積法の基本式和の極限としての定積分の定義

定積分と面積

定積分は,関数 の曲線と 軸で挟まれた領域で,区間 の面積を表す.ただし,区間とする.

解説

関数 の曲線と 軸で挟まれた領域で,区間 の面積を とする.ただし,区間  とする.

から に増加したときの の増加量を とすると,

と表すことができる.拡大図より , となる が存在することがわかる.この関係は の時も成り立つ. のとき,となることから,

となり, 不定積分であることが解る.
よって,定積分の定義より,

と表される.すなわち, は,関数 の曲線と 軸で挟まれた領域で,区間 の面積となる.

参考:定積分を,微小面積を足し合わせたものであるという考え方がある.この考え方は物理現象等を理解するときに非常に大切である.以下に簡単に説明する.(和の極限としての定積分の定義を参照のこと)

まず,区間 等分して 個の長方形を考える.(下図の場合は である.また単純化するために等分割している.)

ただし,

   

個の長方形の面積の総和を とすると,

となる.下図より,分割数を増やすと (ある区間の関数 軸で挟まれた面積)と の差が小さくなっているのが解る.

このことから, にするととなる.これを式で表すと,

ただし,

   

となる.この面積 値が定積分 のことで,

ただし,

   

である.

参考:区分求積法

ホーム>>カテゴリー分類>>積分 >>定積分と面積

最終更新日: 2016年6月27日

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