積分の計算手順
KIT数学ナビゲーション
 

積分の計算手順

積分の公式ここに集めています.

積分の例題ここに集めています.

1.積分ができる形に式を整える

基本形の和の形に持っていく

基本系: x α   ( α :−1以外の実数)  , 1 x  , e x  , α x  , logx  , sinx  , cosx  , tanx   ⇒積分の公式で計算できる.
xax+b   ( a0 ) の場合でもよい.後で, ax+b=t  とおいて置換積分で解ける.実際に計算した例

●その方法

  • 分数関数

    • 部分分数に分解(部分分数に分解するための手順を参照)
      (例) x ( x+1 )( x2 ) 1 3 · 1 x+1 + 2 3 · 1 x2

    • 分子の次数下げ
      (例) 2 x 2 +5x+4 x+2 2x+1+ 2 x+2

    • f ( x ) f ( x ) dx=log| f ( x ) |+C  の関係を利用する.ここを参照.

  • 1次無理関数

     指数形にする. (例)  ax+b m       ( ax+b ) 1 m    さらに, ax+b=t  とおいて置換積分で解く.

  • 高次の三角関数

    • 三角関数の1次化を図る.  用いる公式

    • f( sinx )cosx  に式を変形し, sinx=t  とおく置換積分を行う.
         dt dx =cosx cosx dx=dt より, f( sinx )cosxdx = f( t )dt         解説と例題

    • f( cosx )sinx  に式を変形し, cos x=t  とおく置換積分を行う.
         dt dx =sinx sinx dx=dt より, f( cosx )sinxdx = f( t )dt       解説と例題

    • f( tanx ) 1 cos 2 x  に式を変形し, tanx=t  とおく置換積分を行う.
         dt dx = 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx=dt より,   f( tanx ) 1 cos 2 x dx= f( t ) dt    ⇒解説と例題

    • f( sinx,cosx )dx に式を変形し, tan x 2 =t とおく置換積分を行う.      ⇒ここを参照

  • 関数の積

    • 部分積分の利用
        (関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効)
        (例)  x e nx dx    x を微分すると1になる.

    • f ( g( x ) ) g ( x ) dx =f( g( x ) )+C  の関係を利用する.

    • { f( x ) } α f ( x )dx= { f( x ) } α+1 α+1 +C  この関係は f( x )=t とおいた置換積分で導ける.

  • 関数が複雑

    置換積分の利用を利用する.以下に置換の例を示す.

    • e x =t logx=t sinx=t cosx=t

    • a 2 x 2 x=asinθ     ( π 2 θ π 2 ) ,または x=acosθ     ( 0θπ )

    • a 2 + x 2 { x+ a 2 + x 2 =t x=atanθ ( π 2 <θ< π 2 )

    • x 2 a 2 { x+ x 2 a 2 =t x= a cosθ ( 0θ< π 2 , π 2 <θπ )

    • 1 a 2 + x 2 x=atanx( π 2 <θ< π 2 )

2.定積分の場合,式の特徴による簡素化を図る.

  • 偶関数

    a a f ( x )dx=2 0 a f ( x ) dx   ( f ( x ) :偶関数 )

  • 奇関数

    a a f ( x )dx=0   ( f ( x ) :奇関数 )

  • 三角関数の場合は 周期性に着目

    (例) 0 π sin( πx )dx= 0 π sinxdx

■積分計算の具体的事例

ここを見てください. 対数,三角関数,分数関数などの積分の例題を掲載している.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分 >>積分の計算手順

初版:2004年7月1日,最終更新日: 2013年6月11日

[ページトップ] 金沢工業大学