定積分と面積
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定積分と面積

定積分 a b f( x )dx は,関数 y=f( x ) の曲線と 軸で挟まれた領域で,区間 [ a,b ] の面積を表す.ただし,区間 [ a,b ] f( x )0 とする.

解説

関数 y=f( x ) の曲線と x 軸で挟まれた領域で,区間 [ x 0 ,x ] の面積を S( x ) とする.ただし,区間 [ x 0 ,x ] f( x )0 x 0 <a<x<b  とする.

x x から x+Δx に増加したときの S( x ) の増加量を ΔS とすると,

S( x+Δx )S( x )=ΔS

と表すことができる.拡大図より , ΔS=Δx·f( t ) となる t が存在することがわかる.この関係は Δx<0 の時も成り立つ. Δx0 のとき, tx f( t )f( x ) となることから,

lim Δ x 0 S ( x + Δ x ) S ( x ) Δ x = lim Δ x 0 Δ S Δ x = lim Δ x 0 Δ x · f ( t ) Δ x = f ( x )

となり, S( x ) f( x ) 不定積分であることが解る.
よって,定積分の定義より,

a b f( x )dx =S( b )S( a )

と表される.すなわち, a b f( x )dx は,関数 y=f( x ) の曲線と x 軸で挟まれた領域で,区間 [ a,b ] の面積となる.

参考:定積分を,微小面積を足し合わせたものであるという考え方がある.この考え方は物理現象等を理解するときに非常に大切である.以下に簡単に説明する.(和の極限としての定積分の定義を参照のこと)

まず,区間 [ a,b ] n 等分して n 個の長方形を考える.(下図の場合は n=7 である.また単純化するために等分割している.)

S 1 =f( x 1 )·Δx S 2 =f( x 2 )·Δx S 3 =f( x 3 )·Δx S n =f( x n )·Δx

ただし,

Δ x = b a n , x k = a + ( k 1 ) · Δ x     ( k = 1 , 2 , 3 , , n )

n 個の長方形の面積の総和を S とすると,

S = S 1 + S 2 + S 3 ++ S n = k=1 n f( x k ) ·Δx

となる.下図より,分割数を増やすと S (ある区間の関数 f( x ) x 軸で挟まれた面積)と S の差が小さくなっているのが解る.

このことから, n にすると S S となる.これを式で表すと,

lim n k=1 n f( x k ) ·Δx=S

ただし,

Δ x = b a n , x k = a + ( k 1 ) · Δ x     ( k = 1 , 2 , 3 , , n )

となる.この面積 S 値が定積分 のことで,

a b f( x )dx = lim n k=1 n f( x k ) ·Δx

ただし,

Δ x = b a n , x k = a + ( k 1 ) · Δ x     ( k = 1 , 2 , 3 , , n )

である.

参考:区分求積法

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最終更新日: 2016年6月27日

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